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随后他顿了顿,继续推导了起来。
“已知允许幂级数中的变量x取复数值时,幂级数收敛的值在复平面上形成一个二维区域,就幂级数来说,这个区域总是具有圆盘的形状……”
“然后利用高斯函数的Fourier变换F{e-a2t2}(k)=πae-π2k2/a2,以及Poisson求和公式可以得到……”
“考虑积分g(s)=12πi∮γzs-1e-z-1dz,其中围道应该是limk→∞gk(s)=g(s)……”
(这些推导是我自己算的,这部分我不太确定正不正确,用了留数定理和梅林积分变换,要是有问题欢迎指正或者读者群私聊我,这种涉及到比较多数学问题的推导不是我的专精方向)
众所周知。
解析延拓就是指两个解析函数f1(z)与f2(z)分别在区域D1与D2解析,区域D1与D2有一交集D,且在区域D上恒有f1(z)=f2(z)。
这时便可以认为解析函数f1(z)与f2(z)在对方的区域上互为解析延拓,同时解析函数f1(z)与f2(z)实际上是同一函数f(z)在不同区域的不同表达式。
举个最简单的例子。
由幂级数定义的函数f1(z)=∑n=0∞zn在单位圆|z|<1内解析,后者在全平面除了z=1外都有定义(定义域不只是单位圆了)。
所以我们说函数f(z)=11-z是幂级数f1(z)在复平面上的解析延拓。
非常简单,也非常好理解。
徐云在第一阶段得到的广义积分在0c||Re(s)<0的区域M(s)可以仍然有定义,于是,上面的F{e-a2t2}(k)就是一个亚纯函数。
“然后再引入Γ函数,它是阶乘函数在实数与复数域上的扩展,当它的宗量为正整数时,有Γ(n)=(n-1)!……”
“这部分似乎可以用渐进概念来做个近似……”
“如果近似到场论的话,相当于量子化自由Klein-Gordon场时,(+m2)Φ(x)=0,那么场算符就是Φ(x)=∫d3p(2π)312Ep(ape-ipx+apfeipx)……”
“然后再把场算符代算回来……”
半个小时后。
徐云忽然停下了笔,眉头微微皱了起来:
“激发电场……果然是和晶体有关。”
此时此刻。
徐云面前的算纸之上,赫然正写着几个Nabla算符。
要知道。
他之前虽然对推导过程进行过渐进处理,但本身是没有引入激发电场概念的,更别说徐云之前还完成了代算。
也就是说这几个Nabla算符并不是渐进项解开后出现的错误算子,而是与方程自身有关的参数。
更重要的是……
随着这一步方程的解开,公式中出现了一个新的并立项。
它叫做……频率,计量单位是meV。
频率、激发电场、加上徐云最早独力发现的类似层状结构的表达式……
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